Z.z. E[ E[Y|X] | X,Z] = E[Y|X] < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Status: |
(Frage) überfällig | Datum: | 02:47 Di 21.08.2012 | Autor: | Druss |
Hallo,
ich hatte keine Probleme
E[E[Y|X,Z] | Z] = E[Y|Z]
mittels dem law of iterated expectation zu zeigen jedoch bei dem obigen Aufgabe weiß ich nicht genau wie ich vorgehen soll. Beim letzteren habe ich für einen bestimmten Wert Z=z folgendes gemacht:
E[E[Y|X,Z] | Z] = [mm] \sum_x [/mm] E[Y|X=x, Z=z] [mm] \cdot [/mm] P(X=x | Z=z)
= [mm] \sum_{x,y} [/mm] y [mm] \cdot [/mm] P(Y=y | X=x, Z=z) [mm] \cdot [/mm] P(X=x | Z=z)
= [mm] \sum_{x,y} [/mm] y [mm] \cdot \bruch{P(Y=y, X=x, Z=z)}{P(X=x | Z=z)} \cdot \bruch{P(X=x, Z=z)}{P(Z=z)}
[/mm]
= [mm] \sum_{x,y} [/mm] y [mm] \cdot \bruch{P(Y=y, X=x, Z=z)}{P(Z=z)}
[/mm]
= [mm] \sum_{y} [/mm] y [mm] \cdot \bruch{P(Y=y, Z=z)}{P(Z=z)}
[/mm]
= [mm] \sum_{y} [/mm] y [mm] \cdot [/mm] P(Y=y | Z=z)
= E(Y | Z=z)
Bei E[E[Y|X] | X,Z] = E[Y|X] muss ich ja wohl über Z für ein fixiertes X=x gehen:
E[E[Y|X] | X,Z] = [mm] \sum_x [/mm] E[Y|X=x] [mm] \cdot [/mm] P(Z=z | X=x)
= [mm] \sum_{x,y} [/mm] y [mm] \cdot [/mm] P(Y=y | X=x) [mm] \cdot [/mm] P(Z=z | X=x)
= [mm] \sum_{x,y} [/mm] y [mm] \cdot \bruch{P(Y=y, X=x)}{P(X=x)} \cdot \bruch{P(Z=z, X=x)}{P(X=x)}
[/mm]
und nun weiß ich nicht weiter :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 03:20 Sa 25.08.2012 | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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